Diffusione e reazione: dal moto Browniano alla diffusione delle epidemie.

Diffusion and transport processes constitute a very important field of applied mathematics. They are useful in many different problems ranging from the diffusion of pollutants in the atmosphere and the sea, to the spreading of epidemics. Aside from their practical relevance, such processes have been very important in the history of physics and mathematics. We can recall Einstein's study of Brownian motion which was fundamental to give definitive experimental evidence of the existence of atoms. Moreover diffusion processes have been the starting point for the building of the mathematical theory of stochastic processes (starting from the work of Langevin). Similarly the study of reaction and diffusion phenomena, starting from the seminal contribution of two 20th- century science giants (Ronald A. Fisher and Andrej N. Kolmogorov) has led to interesting developments both for applications and for the fruitful connections between stochastic processes and partial differential equation. In this article we discuss some general results developed in these areas, including few modern topics, as transport and reaction/diffusion on discrete structures (graphs). Such a theme has a great relevance, e.g. for the dissemination of information through the internet or the spreading of epidemics through the air transport network.

I fenomeni di trasporto, e la loro generalizzazione ai casi con reazione, costituiscono un capitolo molto importante della matematica applicata e trovano utilizzo in ambiti molto vari, che vanno dalla diffusione di sostanze inquinanti in atmosfera e in mare, ai processi industriali, alla biomatematica, alla propagazione di epidemie. Oltre alla loro rilevanza pratica, lo studio di tali fenomeni ha portato contributi molto importanti nella storia della fisica e della matematica. Possiamo ricordare lo studio di Einstein sul moto browniano che Á e stato fondamentale per dare un'evidenza sperimentale definitiva della reale esistenza degli atomi. E, in generale, i processi di diffusione hanno costituito il punto di partenza per la costruzione della teoria matematica dei processi stocastici (a cominciare dal lavoro di Langevin) Analogamente lo studio dei fenomeni con diffusione e reazione, nati dal contributo di due giganti della scienza del 20-mo secolo (Ronald A. Fisher e Andrej N. Kolmogorov) nell'ambito della modellizzazione matematica di problemi biologici, ha poi portato a sviluppi interessanti sia nell'ambito applicativo che per le proficue connessioni tra processi stocastici ed equazioni alle derivate parziali. In questo articolo oltre a presentare alcuni tra i risultati generali sviluppati in questi ambiti, discuteremo Á moderni legati al crescente interesse per i fenomeni di trasporto e reazione/diffusione su strutture anche aspetti piu Á (basti pensare alla diffusione delle informazioni su discrete (grafi), una tematica questa di grande attualita internet o alla propagazione delle epidemie per mezzo del network dei trasporti aerei) sviluppata attraverso una matematica raffinata.